Question

已知抛物线 y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过过点B（12，0）和C（0，6），对称轴方程为x=2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D在线段AB上且AD=AC，求tan∠ACD的值；
（3）若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法求得二次函数的解析式即可；
（2）根据点D在线段AB上，且AD=AC得到点D在对称轴上，然后根据点B （12，0）和点A关于直线x=2对称、点A （-8，0），D（2，0），AD=10，AO=8、
（3）设直线CD垂直平分PQ，连接DQ，利用∠PDC=∠QDC，PD=DQ和∠ACD=∠ADC得到∠ACD=∠QDC，从而得到t=5÷1=5（秒），进一步得到存在t=5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分，然后利用时间、速度、路程之间的关系求得点Q的运动速度．

解答：解：（1）∵抛物线经过点C（0，-6），
∴C=-6，即y=ax²+bx-6．
由y=

- b 2a =2 144a+12b-6=0

解得　a=

1

16

，b=-

1

4

．
∴抛物线的解析式为y=

1

16

x2-

1

4

x-6．

（2）OC=6，得到在Rt△AOC中，AC=10，然后利用锐角三角函数的性质求得结果．
点D在线段AB上，且AD=AC，∴点D在对称轴上．
点B （12，0）和点A关于直线x=2对称．
点A （-8，0），D（2，0），AD=10，AO=8，OC=6，
在Rt△AOC中，AC=

AO2+OC2

=10．
∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC．
∴Rt△COD中，tan∠ODC=

OC

OD

=

6

2

=3，
∴tan∠ACD=3．

（3）存在
设直线CD垂直平分PQ，连接DQ，
显然∠PDC=∠QDC，PD=DQ．
由（2）∠ACD=∠ADC，∴∠ACD=∠QDC，
∴DQ∥AC．
∵点D是线段AB的中点，∴DQ为中位线，
∴DQ=

1

2

AC=5．
∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，
∴t=5÷1=5（秒），
∴存在t=5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分，
此时，在Rt△BOC中，BC=

62+122

=6

5

．
DQ为△ABC的中位线，∴CQ=3

5

．
∴点Q的运动速度为每秒

3 5

5

个单位长度．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．