Question

1．如图：正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠BAC的平分线交BD于点E，交BC于点O．
（1）若AB=4cm，求DE的长．
（2）求证：OE=$\frac{1}{2}CF$．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AD=AB=4cm，∠ADO=∠DAO=∠BAO-45°，再由角平分线和三角形内角和定理得出∠DAE=∠AED，得出DE=AD即可；
（2）作OH∥BC，交AF于点H，根据三角形中位线定理证明OH=$\frac{1}{2}$CF，然后根据三角形的外角的性质证明∠OHE=∠AEO，则OE=OH，即可得出结论．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=4cm，∠ADO=∠DAO=∠BAO-45°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠OAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°，
∴∠DAE=∠DAO+∠OAE=67.5°，
∴∠AED=180°-∠ADO-∠DAE=67.5°，
∴∠DAE=∠AED，
∴DE=AD=4cm；
（2）证明：作OH∥BC，交AF于点H．如图所示：
∵OH∥BC，且正方形ABCD中，AO=OC，
∴AH=HF，即OH是△ACF的中位线．
∴OH=$\frac{1}{2}$CF．
∵HO∥BC，
∴∠AOH=∠ACB=45°，
∴∠OHE=∠AOH+∠FAC=45°+∠FAC，
又∵∠AEO=∠ABD+∠BAE=45°+∠BAE，∠FAC=∠BAE，
∴∠OHE=∠AEO，
∴OE=OH，
∴OE=$\frac{1}{2}CF$．

点评 本题考查了正方形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的判定；熟练掌握正方形的性质，证明角相等或运用三角形的中位线定理把题目转化为证明线段相等的问题是关键．