题目内容
7．
如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（$\sqrt{3}$+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
（2）已知距离观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73）
分析 （1）作CE⊥AB于E，设AE=x海里，则BE=CE=$\sqrt{3}$x海里．根据AB=AE+BE=x+$\sqrt{3}$x=100（$\sqrt{3}$+1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，同理求出AD的长；
（2）根据（1）中的结论得出DF的长，再与100比较即可得到答案．
解答 
解：（1）如图，作CE⊥AB于E，
由题意得：∠ABC=45°，∠BAC=60°，
设AE=x海里，
在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°=$\sqrt{3}$x；
在Rt△BCE中，BE=CE=$\sqrt{3}$x．
∴AE+BE=x+$\sqrt{3}$x=100（$\sqrt{3}$+1），
解得：x=100．
AC=2x=200．
在△ACD中，∠DAC=60°，∠ADC=75°，则∠ACD=45°．
过点D作DF⊥AC于点F，
设AF=y，则DF=CF=$\sqrt{3}$y，
∴AC=y+$\sqrt{3}$y=200，
解得：y=100（$\sqrt{3}$-1），
∴AD=2y=200（$\sqrt{3}$-1）．
答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（$\sqrt{3}$-1）海里．
（2）由（1）可知，DF=$\sqrt{3}$AF=$\sqrt{3}$×100（$\sqrt{3}$-1）≈126.3海里，
因为126.3＞100，
所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．
点评 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
练习册系列答案
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已知：如图，在△ABC中，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．
如图，在正方形ABCD内部放置了两个全等的Rt△ADE，Rt△BCF，已知正方形ABCD的边长为6，∠ADE=∠FBC=30°，那么线段EF的长为3（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）．
19．下列各数中最小的是（ ）
| A． | |-5| | B． | -23 | C． | -（+3） | D． | $\sqrt{16}$ |