Question

18．已知：如图，在△ABC中，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AD=3，AE=5，则求菱形AECF的面积．

Answer 1

分析 （1）首先利用AAS证明△CDF≌△AED，进而得到AE=CF，于是得打四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得到结论；
（2）首先利用勾股定理求出DE的长，再利用对角线乘积的一半求出菱形的面积．

解答 证明：（1）∵CF∥AB，
∴∠DCF=∠DAE，
∵PQ垂直平分AC，
∴CD=AD，
在△CDF和△AED中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DCF=∠DAE}\\{∠CDF=∠ADE}\\{CD=AD}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△AED，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵PQ垂平分AC，
∴AE=CE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）∵四边形AECF是菱形，
∴△ADE是直角三角形，
∵AD=3，AE=5，
∴DE=4，
∴AC=2AD=6，EF=2DE=8，
∴菱形AECF的面积为$\frac{1}{2}$AC•EF=24．

点评 本题主要考查了菱形的判定与性质、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握AAS证明三角形全等以及菱形的面积计算公式．