Question

2．如图，在半径为1的⊙O中，∠BAC=30°，点D是劣弧CB的中点，点P是直径AB上的一个动点，则CP+DP的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}-1$

Answer 1

分析 作出D关于AB的对称点D′，则PC+PD的最小值就是CD′的长度，在△COD′中根据边角关系即可求解．

解答 解：作出D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′．
则CD′的长度=CP+DP的最小值，
∵点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为$\widehat{BC}$的中点，即$\widehat{BD}$=$\widehat{BD′}$，
∴∠BAD′=$\frac{1}{2}$∠CAB=15°．
∴∠CAD′=45°．
∴∠COD′=90°，
∵OC=OD′=1，
∴CD′=$\sqrt{2}$．
∴CP+DP的最小值=$\sqrt{2}$．
故选A．

点评 本题考查了圆周角定理以及路程和最小的问题，正确作出辅助线是解题的关键．