Question

如图，已知⊙O的半径为R，C、D是直径AB的同侧圆周上的两点，

AC

的度数为100°，

BC

=2

BD

，动点P在线段AB上，则PC+PD的最小值为（　　）

• A、R
• B、

  2

  R
• C、

  3

  R
• D、

  5

  2

  R

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,垂径定理,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理

专题：

分析：根据轴对称，作出点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点P，此时PC+PD最小．由题意求出

DB

的度数，进而得到

DBC′

的度数，算出∠DOC′的度数，再在直角三角形DEO利用三角函数计算出DE的长，再根据垂径定理可以得到DC′的长，DC′的长就是PC+PD的最小值．

解答：解：如图：作点C关于AB的对称点C′，根据对称性可知：PC=PC′．由两点之间线段最短，此时DC′的长就是PC+PD的最小值．
过O作OE⊥C′D，垂足为E，
∵

AC

=100°，
∴

CDB

=180°-100°=80°，
∵

BC

=2

BD

，
∴

DB

=40°，
∴

DBC′

=120°，
∴∠DOC′=120°，∠D=30°，
在△DOE中，OD=R，∠D=30°，
∴DE=OD•cos30°=

3

2

R，
∵OE⊥C′D，
∴C′D=2DE=

3

R，
∴CP+DP=

3

R．
故选：C．

点评：本题主要考查了垂径定理，以及轴对称-最短路线问题，根据轴对称找出点C的对称点点C′，由两点之间线段最短，确定DC′的长就是PC+PD的最小值，然后由题目所告诉弧的度数得到∠D的度数，在△DOE中求出DE的长．