Question

设x，y是大于零的实数，且

sinθ

x

=

cosθ

y

，

cos2θ

x2

+

sin2θ

y2

=

14

x2+y2

，则

x

y

+

y

x

=

 

．

Answer 1

考点：互余两角三角函数的关系,比例的性质

专题：计算题

分析：根据比例的性质由

sinθ

x

=

cosθ

y

得

sinθ

cosθ

=

x

y

，由三角函数的关系有

sinθ

cosθ

=tanθ，则tanθ=

x

y

，在△ABC中，∠C=90°，AC=x，BC=y，根据锐角三角函数的定义得到
sinθ=

x

x2+y2

，cosθ=

y

x2+y2

，则

cos2θ

x2

+

sin2θ

y2

=

14

x2+y2

可化为

y2

x2+y2

•

1

x2

+

x2

x2+y2

•

1

y 2

=

14

x2+y2

，化简后得

y2

x2

+

x2

y2

=14，配方后得到（

y

x

+

x

y

）²=16，然后两边开方取算术平方根即可．

解答：解：∵

sinθ

x

=

cosθ

y

，
∴

sinθ

cosθ

=

x

y

，而

sinθ

cosθ

=tanθ，
∴tanθ=

x

y

，
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=x，BC=y，
∴AB=

x2+y2

，
∴sinθ=

x

x2+y2

，cosθ=

y

x2+y2

，
而

cos2θ

x2

+

sin2θ

y2

=

14

x2+y2

，
∴

y2

x2+y2

•

1

x2

+

x2

x2+y2

•

1

y 2

=

14

x2+y2

，
∴

y2

x2

+

x2

y2

=14，
∴（

y

x

+

x

y

）²-2=14，
∴（

y

x

+

x

y

）²=16，
而x，y是大于零的实数，
∴

y

x

+

x

y

=4．
故答案为4．

点评：本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值；一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值；一锐角的正切等于它的对边与它的邻边的比值．也考查了勾股定理、完全平方公式以及比例的性质．