Question

如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是弦，D是

BC

的中点，DE⊥AB于E，交BC于F．已知AC=6，⊙O的半径是5．
（1）求证：BC=2DE；
（2）求tan∠CBD的值．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,三角形中位线定理,圆周角定理,锐角三角函数的定义

专题：几何综合题

分析：（1）连接OD交BC于点H，由全等三角形的判定定理得出△OBH≌△ODE，故∠OHB=∠C=90°，OH是△ABC的中位线，由中位线的性质即可得出结论；
（2）由（1）可知OH为△ABC的中位线，故OH=

1

2

AC=3，OD=OB=5，DH=OD-OH=2，由勾股定理求出DE的长，根据锐角三角函数的定义即可求出结论．

解答：解：（1）方法一：连接OD交BC于点H，
∵D是

BC

的中点，
∴∠CBD=∠ABC，
在△OBH与△ODE中，

∠DOE=∠DOE OB=OD ∠CBD=∠ABC

，
∴△OBH≌△ODE，
∴∠OHB=∠C=90°，
∴OH是△ABC的中位线，
∴DE=BH=

1

2

BC，
∴BC=2DE；
方法二：先设DE交⊙O于点G，

CD

=

DB

=

BG

，BC=DG=2DE．

（2）方法一：∵由（1）可知OH为△ABC的中位线，
∴OH=

1

2

AC=3，OD=OB=5，DH=OD-OH=2，
∴BH=

52-32

=4，
∴DE=4，
∴tan∠CBD=

DH

BH

=

2

4

=

1

2

．
方法二：连接AD，DE²=AE•BE，设AE=x＞5，DE²=x•（10-x），
∵DE=

1

2

BC=4，
∴4²=x•（10-x），解得x=8或x=2（舍去），
∴tan∠CBD=tan∠DAE=

DE

AE

=

4

8

=

1

2

．

点评：本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形中位线的定理及锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线．构造出全等三角形是解答此题的关键．