Question

19．如图，在△ABC中，以A为顶点，以AB、AC为直角三角形的直角边向外侧作等腰直角三角形，连接DE，过A点向BC作垂线AG．反向延长AG交DE于H．
（1）求证：S_△ADE=S_△ABC；
（2）求证：AG平分DE．

Answer 1

分析 （1）作DP⊥GA，EQ⊥GA，垂足分别为P、Q，根据△DAP≌△ABG，△AGC≌△EQA，△DPH≌△EQH，得到：S_△ABG=S_△DAP，S_△EQA=S_△AGC，S_△DPH=S_△EQH，由此即可证明结论．
（2）根据△DPH≌△EQH即可证明．

解答 （1）证明：作DP⊥GA，EQ⊥GA，垂足分别为P、Q．
∵Rt△ABD是等腰三角形，
∴DA=BA，
∵∠PDA+∠PAD=90°，
∠PAD+∠BAG=90°，
∴∠PDA=∠BAG，
在△DAP与△ABG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPA=∠AGB=90°}\\{∠PDA=∠GAP}\\{DA=AB}\end{array}\right.$，
∴△DAP≌△ABG（AAS），
∴DP=AG，
同理△AGC≌△EQA，AG=FQ．，
∴DP=EQ，
∴S_△ABG=S_△DAP，S_△EQA=S_△AGC，
在△DPH与△EQH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPH=∠EQH}\\{∠DHP=∠EHQ}\\{HD=QE}\end{array}\right.$，
∴△DPH≌△EQH（AAS），
∴S_△DPH=S_△EQH，
∴S_△ABC=S_△ABG+S_△AGC=S_△DAP-S_△DPH+S_△EQA-S_△EQH=S_△DAP+S_△EQA=S_△ADE，
即S_△ABC=S_△ADE．
（2）证明：∵△DPH≌△EQH（已证），
∴DH=HE，
∴AG平分DE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和为180°的性质、等腰三角形的性质等知识，本题中添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．