Question

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P与y轴相切于点C，⊙P的半径是4，直线y=x被⊙P截得的弦AB的长为$4\sqrt{3}$，求点P的坐标．

Answer 1

分析 过点P作PH⊥AB于H，PD⊥x轴于D，交直线y=x于E，连结PA，根据切线的性质得PC⊥y轴，则P点的横坐标为4，所以E点坐标为（4，4），易得△EOD和△PEH都是等腰直角三角形，根据垂径定理由PH⊥AB得AH=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，根据勾股定理可得PH=2，于是根据等腰直角三角形的性质得PE=$\sqrt{2}$PH=2$\sqrt{2}$，则PD=4+2$\sqrt{2}$，然后利用第一象限点的坐标特征写出P点坐标．

解答 解：过点P作PH⊥AB于H，PD⊥x轴于D，交直线y=x于E，连结PA，
∵⊙P与y轴相切于点C，
∴PC⊥y轴，
∴P点的横坐标为4，
∴E点坐标为（4，4），
∴△EOD和△PEH都是等腰直角三角形，
∵PH⊥AB，
∴AH=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
在△PAH中，PH=$\sqrt{P{A}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴PE=$\sqrt{2}$PH=2$\sqrt{2}$，
∴PD=4+2$\sqrt{2}$，
∴P点坐标为（4，4+2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理．