Question

15．探索：如图①，以△ABC的边AB、AC为直角边，A为直角顶点，向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，连结BE、CD，试确定BE与CD有怎样数量关系，并说明理由．
应用：如图②，要测量池塘两岸B、E两地之间的距离，已知测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．

Answer 1

分析 根据全等三角形的判定方法得出△CAD≌△EAB（SAS），进而利用全等三角形的性质结合勾股定理得出DC的长，进而得出答案．

解答 解：探索：BE=CD，
理由：∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
在△CAD和△EAB中
∵$\left\{\begin{array}{l}{DA=AB}\\{∠CAD=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；

应用：如图②，过点A作AD⊥AB，且AD=AB，连接BD，
由探索，得△CAD≌△EAB，
∴BE=DC，
∵BC=AB=100m，
∴AB=AD=100m，
∵∠DAB=90°，
∴∠ABD=45°，BD=100$\sqrt{2}$m，
∵∠ABC=45°，
∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，BC=100m，BD=100$\sqrt{2}$m，
∴CD=$\sqrt{10{0}^{2}+（100\sqrt{2}）^{2}}$=100$\sqrt{3}$（m），
则BE=100$\sqrt{3}$m，
答：BE的长为100$\sqrt{3}$m．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理应用，正确得出△CAD≌△EAB（SAS）是解题关键．