Question

11．如图，点A₁（1，0）在x轴上，过点A₁作A₁B₁∥y轴交直线y=$\sqrt{3}$x于点B₁，以A₁B₁为边在A₁B₁的右侧作等边△A₁B₁C₁，再过点C₁作A₂B₂∥y轴，分别交直线x轴和直线y=$\sqrt{3}$x于A₂，B₂两点，再以A₂B₂为边在A₂B₂的右侧作等边△A₂B₂C₂…，按此规律进行下去，则等边△A_nB_nC_n的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$[$（\frac{5}{2}）^{n-1}$•$\sqrt{3}$]²（用含正整数n的代数式表示）．

Answer 1

分析 由点A₁的横坐标可得出点B₁的坐标，进而可得出A₁B₁的长度，根据等边三角形的性质可得出点A₂的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B₂的坐标，进而可得出A₂B₂的长度，同理可得出：A_nB_n的长度，根据等边三角形的面积公式即可求出△A_nB_nC_n的面积．

解答 解：当x=1时，y=$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$，
∴点B₁（1，$\sqrt{3}$），
∴A₁B₁=$\sqrt{3}$；
∵△A₁B₁C₁为等边三角形，点A₁（1，0），
∴点A₂（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$，0），即（$\frac{5}{2}$，0）
∴点B₂（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$），
∴A₂B₂=$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$；
同理可得出：A₃B₃=$\frac{25}{4}$$\sqrt{3}$，A₄B₄=$\frac{125}{8}$$\sqrt{3}$，…，A_nB_n=$（\frac{5}{2}）^{n-1}$•$\sqrt{3}$．
∴${S}_{△{A}_{n}{B}_{n}{C}_{n}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$A_nB_n²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$[$（\frac{5}{2}）^{n-1}$•$\sqrt{3}$]²．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{4}$[$（\frac{5}{2}）^{n-1}$•$\sqrt{3}$]²．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征找出A_nB_n的长度是解题的关键．