Question

阅读理解：对于任意正实数a、b，∵（

a

-

b

）²≥0，∴a-2

ab

+b≥0，∴a+b≥2

ab

，只有当a=b时，等号才能成立，此时，a+b有最小值为2

ab

．根据上述内容，回答下列问题：
（1）若x＞0，只有当x=

 

时，x+

1

x

有最小值

 

；
（2）如图，已知直线l₁：y=-

1

2

x+2与x轴交于点A，过点A的另一直线l₂与双曲线y=

8

x

（x＜0）相交于点B（-2，m），求直线l₂的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点C为双曲线上任意一点，作CD∥y轴交直线l₁于点D，试求当线段CD最短时，点A、B、C、D所围成的四边形面积．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）运用完全平方公式，对代数式进行化简求最小值；
（2）首先求出A，B点坐标，进而利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；
（3）首先假设出C，D点坐标，进而得出CD最小时x的值，进而得出点A、B、C、D所围成的四边形面积为S_△ADE-S_△EBC求出即可．

解答：解：（1）∵（

a

-

b

）²≥0，
∴a-2

ab

+b≥0，∴a+b≥2

ab

，只有当a=b时，等号才能成立，
此时，a+b有最小值为2

ab

；
∴x＞0，只有当x=1时，x+

1

x

=2；
故答案为：1，2；

（2）∵直线l₁：y=-

1

2

x+2与x轴交于点A，
∴y=0时，x=4，
∴A点坐标为：（4，0），
∵直线l₂与双曲线y=

8

x

（x＜0）相交于点B（-2，m），
∴m=-4，
∴B点坐标为：（-2，-4），
设直线l₂的解析式为：y=kx+b，则

4k+b=0 -2k+b=-4

，
解得：

k= 2 3 b=- 8 3

，
∴直线l₂的解析式为：y=

2

3

x-

8

3

；

（3）设D（x，-

1

2

x+2），C（x，

8

x

），
∴DC=-

1

2

x+2-

8

x

=

1

2

（-x-

16

x

）+2
=

1

2

（-x+

16

-x

）+2
≥

1

2

-x• 16 -x

+2=4，
当-

1

2

x=-

8

x

时，
解得：x=±4，
∵x＜0，
∴x=-4，
延长DC交直线AB于点E，C（-4，-2），E（-4，-

16

3

），
∴点A、B、C、D所围成的四边形面积为：S_△ADE-S_△EBC=

1

2

×（4+

10

3

）×8-

1

2

×

10

3

×2=26．

点评：此题主要考查了反比例函数综合以及新定义和函数最值问题等知识，利用数形结合得出C，D点坐标是解题关键．