Question

18．已知Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别AC、AB的中点，连接DE，并延长到点F，使EF=EB，过点F作FG⊥AB于点G，连接DG并延长，交CB的延长线于点H，连接FH，给出以下四个结论：①∠FGH=∠CDG；②DE=GE；③$\frac{EG}{DC}=\frac{FG}{CH}$；④四边形CDFH是矩形
其中正确的结论有①②④．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析 根据△ADE≌△FGE，即可得到DE=GE，根据等角的余角相等即可得出∠CDG=∠FGH，根据△HCD与△FGE不一定相似，可得$\frac{EG}{DC}=\frac{FG}{CH}$不一定成立，根据∠FGB=∠FHB=90°，∠C=∠CDF=90°，即可得到四边形CDFH是矩形．

解答 解：∵D、E分别AC、AB的中点，
∴DE∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ADE=90°，
又∵FG⊥AB，
∴∠FGE=∠ADE=90°，
∵EF=EB，EB=AE，
∴AE=FE，
在△ADE和△FGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FGE=∠ADE}\\{∠AED=∠FEG}\\{AE=FE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FGE（AAS），
∴DE=GE，故②正确；
∴∠EDG=∠EGD，
又∵∠CDG+∠EDG=90°，∠FGH+∠EGD=90°，
∴∠CDG=∠FGH，故①正确；
∵△ADE≌△FGE，
∴∠A=∠EFG，
又∵∠CHD与∠A不一定相等，
∴∠CHD与∠EFG不一定相等，
而∠EFG与∠CDH也不一定相等，
∴△HCD与△FGE不一定相似，
∴$\frac{EG}{DC}=\frac{FG}{CH}$不一定成立，故③错误；
如图，连接BF，
∵BH∥DE，
∴∠GHB=∠EDG=∠EGD=∠BGH，∠FBH=∠BFE，
∴BG=BH，
∵EB=EF，
∴∠BFE=∠FBG，
∴∠FBG=∠FBH，
在△FBG和△FBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BH}\\{∠FBG=∠FBH}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△FBG≌△FBH（SAS），
∴∠FGB=∠FHB=90°，
又∵∠C=∠CDF=90°，
∴四边形CDFH是矩形，故④正确，
故答案为：①②④．

点评 本题主要考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是判定三角形全等，依据全等三角形的对应边相等，对应角相等作出判断．