Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6cm，将△ABC沿着AC方向平移2cm得△DEF，DE交BC于点G，则四边形CGEF的面积为10$\sqrt{3}$cm²．

Answer 1

分析 根据直角三角形两锐角互余求出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB，再利用勾股定理列式求出BC，然后求出△ABC的面积，从而得到△DEF的面积，再求出CD，同理求出DG、CG，然后求出△CDG的面积，最后根据S_{四边形CGEF}=S_△DEF-S_△CDG列式计算即可得解．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=90°-60°=30°，
∴AB=2AC=2×6=12cm，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$cm，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×6=18$\sqrt{3}$cm²，
∵△ABC沿着AC方向平移2cm得△DEF，
∴S_△DEF=S_△ABC=18$\sqrt{3}$cm²，
由平移得，AD=2cm，
所以，CD=6-2=4cm，
同理可得，DG=2CD=8cm，
CG=4$\sqrt{3}$cm，
所以，S_△CDG=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×4=8$\sqrt{3}$cm²，
所以，S_{四边形CGEF}=S_△DEF-S_△CDG=18$\sqrt{3}$-8$\sqrt{3}$=10$\sqrt{3}$cm²．
故答案为：10$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．还考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．