Question

3．已知关于x的方程mx²+（3m+1）x+3=0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）若抛物线y=mx²+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式；（温馨提示：整数点的横、纵坐标都为整数）
（3）若点P（x₁，y₁）与Q（x₁+n，y₂）在（2）中抛物线上 （点P、Q不重合），且y₁=y₂，求代数式4x₁²+12x₁n+5n²+16n+2000的值．

Answer 1

分析 （1）分m=0与m≠0两种情况进行讨论即可；
（2）令y=0，则 mx²+（3m+1）x+3=0，求出x的值，再由抛物线y=mx²+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数得出m的值，代入抛物线的解析式即可；
（3）把点P（x₁，y₁）与Q（x₁+n，y₂）代入抛物线的解析式，根据y₁=y₂可得出2x₁=-n-4，代入代数式进行计算即可．

解答 解：（1）当m=0时，原方程化为x+3=0，
此时方程有实数根x=-3．
当m≠0时，原方程为一元二次方程．
∵△=（3m+1）²-12m=9m²-6m+1=（3m-1）²≥0，
∴此时方程有两个实数根．
综上，不论m为任何实数时，方程mx²+（3m+1）x+3=0总有实数根．


（2）∵令y=0，则 mx²+（3m+1）x+3=0．
解得x₁=-3，x₂=-$\frac{1}{m}$．
∵抛物线y=mx²+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，
∴m=1．
∴抛物线的解析式为y=x²+4x+3．

（3）∵点P（x₁，y₁）与Q（x₁+n，y₂）在抛物线上，
∴y₁=x₁²+4x₁+3，y₂=（x₁+n）²+4（x₁+n）+3，
∵y₁=y₂，
∴x₁²+4x₁+3=（x₁+n）²+4（x₁+n）+3，
可得n（2x₁+n+4）=0．
∵点P，Q不重合，
∴n≠0．
∴2x₁=-n-4．
∴4x₁²+12x₁n+5n²+16n+2000=（2x₁）²+2x₁-6n+5n²+16n+2000=（n+4）²+6n（-n-4）+5n²+16n+2000=2016．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点，在解答（1）时要注意进行分类讨论，不要漏解．