Question

11．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax²+bx+c过点D，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：ED是⊙P的切线；
（3）若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线y=ax²+bx+c上吗？请说明理由；
（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定B（-4，0），再在Rt△OCD中利用∠OCD的正切求出OD=2$\sqrt{3}$，D（0，2$\sqrt{3}$），然后利用交点式求抛物线的解析式；
（2）先计算出CD=2OC=4，再根据平行四边形的性质得AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，则由AE=3BE得到AE=3，接着计算$\frac{AE}{OC}$$\frac{AD}{CD}$=$\frac{3}{2}$，加上∠DAE=∠DCB，则可判定△AED∽△COD，得到∠ADE=∠CDO，而∠ADE+∠ODE=90°则∠CDO+∠ODE=90°，再利用圆周角定理得到CD为⊙P的直径，于是根据切线的判定定理得到ED是⊙P的切线
（3）由△AED∽△COD，根据相似比计算出DE=3$\sqrt{3}$，由于∠CDE=90°，DE＞DC，再根据旋转的性质得E点的对应点E′在射线DC上，而点C、D在抛物线上，于是可判断点E′不能在抛物线上；
（4）利用配方得到y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）²+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，则M（-1，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$），且B（-4，0），D（0，2$\sqrt{3}$），根据平行四边形的性质和点平移的规律，利用分类讨论的方法确定N点坐标．

解答 解：（1）∵C（2，0），BC=6，
∴B（-4，0），
在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=$\frac{OD}{OC}$，
∴OD=2tan60°=2$\sqrt{3}$，
∴D（0，2$\sqrt{3}$），
设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-2），
把D（0，2$\sqrt{3}$）代入得a•4•（-2）=2$\sqrt{3}$，解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+4）（x-2）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$；
（2）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，
∵AE=3BE，
∴AE=3，
∴$\frac{AE}{OC}$=$\frac{3}{2}$，$\frac{AD}{CD}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AE}{OC}$=$\frac{AD}{CD}$，
而∠DAE=∠DCB，
∴△AED∽△COD，
∴∠ADE=∠CDO，
而∠ADE+∠ODE=90°
∴∠CDO+∠ODE=90°，
∴CD⊥DE，
∵∠DOC=90°，
∴CD为⊙P的直径，
∴ED是⊙P的切线；
（3）E点的对应点E′不会落在抛物线y=ax²+bx+c上．理由如下：
∵△AED∽△COD，
∴$\frac{DE}{OD}$=$\frac{AE}{OC}$，即$\frac{DE}{2\sqrt{3}}$=$\frac{3}{2}$，解得DE=3$\sqrt{3}$，
∵∠CDE=90°，DE＞DC，
∴△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′在射线DC上，
而点C、D在抛物线上，
∴点E′不能在抛物线上；
（4）存在．
∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）²+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$
∴M（-1，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$），
而B（-4，0），D（0，2$\sqrt{3}$），
如图2，
当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移2$\sqrt{3}$个单位得到点B，则点M（-1，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$）向左平移4个单位，再向下平移2$\sqrt{3}$个单位得到点N₁（-5，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）；
当DM为平行四边形BDMN的对角线时，点B向右平移3个单位，再向上平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$个单位得到点M，则点D（0，2$\sqrt{3}$）向右平移3个单位，再向上平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$个单位得到点N₂（3，$\frac{17\sqrt{3}}{4}$）；
当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向左平移3个单位，再向下平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$个单位得到点B，则点D（0，2$\sqrt{3}$）向右平移3个单位，再向下平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$个单位得到点N₃（-3，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
综上所述，点N的坐标为（-5，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）、（3，$\frac{17\sqrt{3}}{4}$）、（-3，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

点评 考查了二次函数综合题：熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；掌握平行四边形的性质点平移的规律；会证明圆的切线．