如图.边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上.以点C为顶点的抛物线经过点A.点P是抛物线上点A.C间的一个动点.过点P作PF⊥BC于点F.点D.E的坐标分别为.连接PD.PE.DE．(1)请直接写出抛物线的解析式,(2)小明探究点P的位置发现:当P与点A或点C重合时.PD与PF的差为定值.进而猜想:对于任意一点P.PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确.并说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（-4，0），连接PD、PE、DE．
（1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．

分析（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）首先表示出P，F点坐标，再利用两点之间距离公式得出PD，PF的长，进而求出即可；
（3）根据题意当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，进而得出P点坐标以及利用△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，进而得出答案．

解答解：（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，
∴C（0，8），A（-8，0），
设抛物线解析式为：y=ax²+c，
则$\left\{\begin{array}{l}{c=8}\\{64a+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{8}}\\{c=8}\end{array}\right.$
故抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{8}$x²+8；

（2）正确，
理由：设P（a，-$\frac{1}{8}$a²+8），则F（a，8），
∵D（0，6），
∴PD=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{8}{a}^{2}-2）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{8}{a}^{2}+2）^{2}}$=$\frac{1}{8}$a²+2，
PF=8-（-$\frac{1}{8}$a²+8）=$\frac{1}{8}$a²，
∴PD-PF=2；

（3）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，
∵PD-PF=2，∴PD=PF+2，
∴PE+PD=PE+PF+2，
∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，
此时点P，E的横坐标都为-4，
将x=-4代入y=-$\frac{1}{8}$x²+8，得y=6，
∴P（-4，6），此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点，
∴△PDE的周长最小时”好点“的坐标为：（-4，6），
由（2）得：P（a，-$\frac{1}{8}$a²+8），
∵点D、E的坐标分别为（0，6），（-4，0），
①当-4≤a＜0时，S_△PDE=$\frac{1}{2}$（-a+4）（-$\frac{1}{8}$a²+8）-[-$\frac{a}{2}$•（-$\frac{1}{8}$a²+8-6）$+\frac{1}{2}•4•6]$=$-\frac{1}{4}{a}^{2}-3a+4$；
∴4＜S_△PDE≤12，
②当a=0时，S_△PDE=4，
③-8＜a＜-4时，S_△PDE=（-$\frac{1}{8}$a²+8+6）×（-a）×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×4×6-（-a-4）×（-$\frac{1}{8}$a²+8）×$\frac{1}{2}$
=-$\frac{1}{4}$a²-3a+4，
∴12≤S_△PDE≤13，
④当a=-8时，S_△PDE=12，
∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，
所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个，
综上所述：11个好点，P（-4，6）．