Question

11．在平面直角坐标系中，点 A（-2，0），B（2，0），C（0，2），点 D，点E分别是 AC，BC的中点，将△CDE绕点C逆时针旋转得到△CD′E′，及旋转角为α，连接 AD′，BE′．
（1）如图①，若 0°＜α＜90°，当 AD′∥CE′时，求α的大小；
（2）如图②，若 90°＜α＜180°，当点 D′落在线段 BE′上时，求 sin∠CBE′的值；
（3）若直线AD′与直线BE′相交于点P，求点P的横坐标m的取值范围（直接写出结果即可）．

Answer 1

分析 （1）如图1中，首先判断△AD′C是直角三角形，再根据AC=2CD′推出∠CAD′=30°由此即可解决问题．
（2）如图2中，作CK⊥BE′于K，求出CK，根据sin∠CBE′=$\frac{CK}{BC}$即可解决问题．
（3）根据图3、图4分别求出点P横坐标的最大值以及最小值即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵AD′∥CE′，
∴∠AD′C=∠E′CD′=90°，
∵AC=2CD′，
∴∠CAD′=30°，
∴∠ACD′=90°-∠CAD′=60°，
∴α=60°．

（2）如图2中，作CK⊥BE′于K．

∵AC=BC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴CD′=CE′=$\sqrt{2}$，
∵△CD′E′是等腰直角三角形，CD′=CE′=$\sqrt{2}$，
∴D′E′=2，
∵CK⊥D′E′，
∴KD′=E′K，
∴CK=$\frac{1}{2}$D′E′=1，
∴sin∠CBE′=$\frac{CK}{BC}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

（3）如图3中，以C为圆心$\sqrt{2}$为半径作⊙C，当BE′与⊙C相切时AP最长，则四边形CD′PE′是正方形，作PH⊥AB于H．

∵AP=AD′+PD′=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
∵cos∠PAB=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AH}{AP}$，
∴AH=2+$\sqrt{3}$，
∴点P横坐标的最大值为$\sqrt{3}$．
如图4中，当BE′与⊙C相切时AP最短，则四边形CD′PE′是正方形，作PH⊥AB于H．

根据对称性可知OH=$\sqrt{3}$，
∴点P横坐标的最小值为-$\sqrt{3}$，
∴点P横坐标的取值范围为-$\sqrt{3}$≤m≤$\sqrt{3}$．

点评 本题考查几何变换、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，找到点P横坐标的最大值、最小值是解题的难点，属于中考压轴题．