Question

5．已知，如图，四边形ABCD中．AB=AD，CB=CD，AC与BD交于点E．求证：
（1）∠1=∠2；
（2）AC⊥BD．

Answer 1

分析 （1）由SSS证明△ABC≌△ADC，得出对应角相等即可；
（2）由线段垂直平分线的性质定理的逆定理得出点A在BD的垂直平分线上，点C在BD的垂直平分线上，得出AC垂直平分BD即可．

解答 证明：（1）在△ABC和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{CB=CD}&{\;}\\{AC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠1=∠2；
（2）∵AB=AD，CB=CD，
∴点A在BD的垂直平分线上，点C在BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD，
∴AC⊥BD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题（1）的关键．