Question

3．如图，AM、AT分别为△ABC的中线及角平分线，△AMT的外接圆分别与AB、AC相交于E、F．求证：BE=CF．

Answer 1

分析 由割线定理得出CF•CA=CT•CM，BE•BA=BM•BT，得出比例式$\frac{BE}{CF}=\frac{CA}{BA}$•$\frac{BT}{CF}=\frac{CA}{BA}•\frac{BT}{CT}•\frac{BM}{CM}$，由已知条件得出BM=CM，得出$\frac{BE}{CF}=\frac{CA}{BA}•\frac{BT}{CT}$，再由角平分线性质定理得出$\frac{BT}{CT}=\frac{BA}{CA}$，即可得出结论．

解答 解：由割线定理得：CF•CA=CT•CM，BE•BA=BM•BT，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{CA}{BA}$•$\frac{BT}{CF}=\frac{CA}{BA}•\frac{BT}{CT}•\frac{BM}{CM}$，
∵AN是中线，
∴BM=CM，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{CA}{BA}•\frac{BT}{CT}$，
由角平分线性质定理，得：$\frac{BT}{CT}=\frac{BA}{CA}$，
∴$\frac{BE}{CF}$=1，
∴BE=CF．

点评 本题考查了三角形的外接圆，割线定理、角平分线的性质等知识；本题有一定难度，需要运用割线定理和角平分线的性质定理才能得出结论．