Question

1．已知：抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），B（3，0），C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A），
①当△PBC的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标；
②如图2，当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴公式，A、C两点坐标，列方程组，求抛物线解析式；
（2）①只需要AP∥BC即可满足题意，先求直线BC解析式，根据平行线的解析式一次项系数相等，设直线AP的解析式，将A点坐标代入可求直线AP的解析式，将抛物线与直线AP解析式联立，即可求P点坐标，再根据平移法求满足条件的另外两个P点坐标；
②延长CP交x轴于点Q，根据抛物线解析式可知△OBC为等腰直角三角形，利用角的关系证明∠OCA=∠OQC，可证Rt△AOC∽Rt△COQ，利用相似比求解．

解答 解：（1）由题意，得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{c=-3}\\{-\frac{b}{2a}=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为y=-x²+4x-3；

（2）①当点P在x轴上方时，如图1，

过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，
设BC所在直线解析式为：y=kx+d，
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+d=0}\\{d=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{d=-3}\\{k=1}\end{array}\right.$
故直线BC的解析式为y=x-3，
设直线AP的解析式为y=x+n，
∵直线AP过点A（1，0），代入求得n=-1．
∴直线AP的解析式为y=x-1
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=-{x}^{2}+4x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，
∴点P₁（2，1），
当点P在x轴下方时，如图1：

设直线AP₁交y轴于点E（0，-1），
把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点P₂，P₃，
得直线P₂P₃的解析式为y=x-5，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x-5}\\{y=-{x}^{2}+4x-3}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{-7+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{-7-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴P₂（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-7+\sqrt{17}}{2}$），P₃（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-7-\sqrt{17}}{2}$），
综上所述，点P的坐标为：P₁（2，1），P₂（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-7+\sqrt{17}}{2}$），P₃（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-7-\sqrt{17}}{2}$）；

②∵B（3，0），C（0，-3），
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
设直线CP的解析式为y=wx-3，
如图2，延长CP交x轴于点Q，
设∠OCA=α，则∠ACB=45°-α，
∵∠PCB=∠BCA，
∴∠PCB=45°-α，
∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°-α）=α，
∴∠OCA=∠OQC，
又∵∠AOC=∠COQ=90°，
∴Rt△AOC∽Rt△COQ，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OC}{OQ}$，
∴$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{OQ}$，
∴OQ=9，∴Q（9，0）
∵直线CP过点Q（9，0），
∴9w-3=0，
∴w=$\frac{1}{3}$．
∴直线CP的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x-3．

点评 此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，两函数交点坐标的求法，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．