Question

11．如图所示，平面上三个正三角形ACE，△ABD，△BCF两两共有一个顶点，求证：CD与EF互相平分．

Answer 1

分析 首先连接DE、DF，由△CBF和△ABD是等边三角形，易证得△CBA≌△FBD（SAS），继而证得AC=DF，则可得DF=EC，同理可得DE=FC，则可判定四边形DECF是平行四边形，证得CD与EF互相平分．

解答 证明：如图，连接DE、DF，
∵△CBF和△ABD是等边三角形，
∴CB=FB，BA=BD，∠ABD=∠CBF=60°，
∵∠CBA=60°-∠ABF，∠FBD=60°-∠ABF，
∴∠CBA=∠FBD，
在△CBA和△FBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=FB}\\{∠CBA=∠FBD}\\{BA=BD}\end{array}\right.$，
∴△CBA≌△FBD（SAS），
∴AC=DF，
又∵EC=AC，
∴DF=EC，
同理可得：DE=FC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴CD与EF互相平分．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．