Question

13．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连结BF，CE．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）当边AB、AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知各件，据AAS很容易证得：△BDE≌△CDF；
（2）连接BF、CE，由AB=AC，D是BC边的中点，可知AD⊥BC，易证得△BFD≌△CFD，可得BF=CF；又因为（1）中△BDE≌△CDF得ED=FD，所以EF、BC互相垂直平分，根据菱形的性质，可得四边形BECF是菱形．

解答 （1）证明：∵在△ABC中，D是BC边的中点，
∴BD=CD，
∵CF∥BE，
∴∠CFD=∠BED，
在△CFD和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠BED}&{\;}\\{CD=BD}&{\;}\\{∠FDC=∠EDB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CFD≌△BED（AAS），
∴CF=BE，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（2）解：当AB=AC时，四边形BECF是菱形；理由如下：
∵AB=AC，D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴EF⊥BC，
∴四边形BECF是菱形．

点评 本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的判定方法或等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．