Question

18．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，∠DEB=45°．
（1）已知CE=6，DE=10，求AB的长；
（2）记CE=m，DE=n，求$\frac{C{E}^{2}+D{E}^{2}}{A{B}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）作OF⊥CD于F，连接OD，由垂径定理得出FD=CF=$\frac{1}{2}$CD，求出EF的长，证得△EFO为等腰直角三角形，得出OF=EF=2，由勾股定理求得OD的长，即可求得AB的长；（2）同（1）求出FD=CF=$\frac{1}{2}$CD、EF=CF-CE、OF、OD的长，代入即可得出结果．

解答 解：（1）作OF⊥CD于F，连接OD，如图所示：
∵CE=6，DE=10，
∴CD=16，
由垂径定理得：FD=CF=$\frac{1}{2}$CD=8，
∴EF=CF-CE=8-6=2，
∵∠DEB=45°，
∴△EFO为等腰直角三角形，
∴OF=EF=2，
由勾股定理得：OD=$\sqrt{O{F}^{2}+F{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{8}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
∴AB=2OD=2×2$\sqrt{17}$=4$\sqrt{17}$；
（2）∵CE=m，DE=n，
∴CD=m+n，
由垂径定理得：FD=CF=$\frac{1}{2}$CD，EF=CF-CE=$\frac{1}{2}$（m+n）-m=$\frac{n-m}{2}$，
∴OF=$\frac{n+m}{2}$，
∴OD=$\sqrt{D{F}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{m+n}{2}）^{2}+（\frac{n-m}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}}$，
∴$\frac{C{E}^{2}+D{E}^{2}}{A{B}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{（2OD）^{2}}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{（2×\sqrt{\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}}）^{2}}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2（{m}^{2}+{n}^{2}）}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握垂径定理，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，本题有一定难度．