Question

10．如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点且△OCD的面积为$\frac{5}{2}$，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．
（1）反比例函数的表达式为y=$\frac{5}{x}$；
（2）在x轴上是否存在一点P，使得S_△POB=$\frac{1}{3}$S_矩形OABC；
（3）若线段MN=1在x轴移动（M在N的左边），求四边形DMNE周长最短时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）要求反比例函数的表达式，只需求出点D的坐标即可；
（2）如图1，要求点P的坐标，只需求出OP即可；
（3）由于DE、MN的长度是定值，要使四边形DMNE周长最短，只需DM+EN最小，可将DM向右平移1个单位到D′N，只需D′N+NE最短，延长EA到点E′，使得AE′=AE，则有NE′=NE，只需D′N+NE′最短，根据两点之间线段最短可得：当D′、N、E′共线时，D′N+NE′最短，易证△E′AN∽△E′BD′，利用相似三角形的性质可求出AN，从而可求出OM，即可得到点M的坐标．

解答 解：（1）∵S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC•CD=$\frac{5}{2}$，OC=5，∴CD=1，
∴点D的坐标为（1，5）．
∵点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=1×5=5，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{5}{x}$．
故答案为y=$\frac{5}{x}$；

（2）如图1，

∵S_△POB=$\frac{1}{3}$S_矩形OABC，
∴$\frac{1}{2}$OP×5=$\frac{1}{3}$×3×5，
∴OP=2，
∴点P的坐标为（2，0）或（-2，0）；

（3）延长EA到点E′，使得AE′=AE，在DB上取一点D′，使得DD′=1，
连接D′E′，交OA于N，如图2，

∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，∠OAB=90°，
∴DD′∥MN，NE′=NE．
∵DD′=MN=1，
∴四边形DD′NM是平行四边形，
∴D′N=DM．
根据两点之间线段最短可得：
此时DM+EN=D′N+EN=D′N+NE′最短，
由于DE、MN的长度是定值，
因此此时四边形DMNE周长最短．
∵x_E=3，∴y_E=$\frac{5}{3}$，
∴AE=$\frac{5}{3}$，
∴AE′=$\frac{5}{3}$，E′B=$\frac{5}{3}$+5=$\frac{20}{3}$，
∴$\frac{AE′}{E′B}$=$\frac{1}{4}$．
∵AN∥BC，
∴△E′AN∽△E′BD′，
∴$\frac{AN}{BD′}$=$\frac{E′A}{E′B}$，
∴$\frac{AN}{3-1-1}$=$\frac{1}{4}$，
∴AN=$\frac{1}{4}$，
∴OM=3-1-$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∴点M的坐标为（$\frac{7}{4}$，0）．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，将不相连的两条线段和最短转化为相连的两条线段和最短，是解决第（3）小题的关键．