Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，CE是⊙O切线，C是切点，EA交弦BC于点D、交⊙O于点F，连接CF：

（1）如图1，求证：∠ECB＝∠F+90°；

（2）如图2，连接CD，延长BA交CE于点H，当OD⊥BC、HA＝HE时，求证：AB＝CE；

（3）如图3，在（2）的条件K在EF上，EH＝FK，S△ADO＝，求WE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）WE＝

【解析】

（1）应用切线性质和圆周角定理即可证得结论；
（2）过点C作CG⊥EF于G，连接BF，先证明△BDF≌△CDG（AAS），再证明△ABF≌△ECG（AAS），即可得出结论；
（3）先证明△ABD≌△ECA（ASA），再证明△ACD和△DEF为等腰直角三角形，设FK=a，BF=b，则DF=b，BD=CD=AC=b，AD=AC=2b，BC=2b，由勾股定理可得：OB=b，AB=CE=b，再根据S△ADO=，建立方程可求得b=1，过点C作CT⊥AB于T，过W作WR⊥EF于R，利用勾股定理和相似三角形性质即可求得WE．

（1）证明：如图1，连接OC，∵OB＝OC

∴∠OCB＝∠B

∵

∴∠F＝∠B

∴∠OCB＝∠F

∵CE是⊙O切线，

∴OC⊥CE

∴∠OCE＝90°

∵∠ECB＝∠OCB+∠OCE

∴∠ECB＝∠F+90°；

（2）证明：如图2，过点C作CG⊥EF于G，连接BF，则∠CGE＝∠CGD＝90°

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB＝90°＝∠CGE＝∠CGD

∵OD⊥BC

∴BD＝CD

在△BDF和△CDG中，

,

∴△BDF≌△CDG（AAS）

∴BF＝CG

∵HA＝HE

∴∠EAH＝∠E

∵∠BAF＝∠EAH

∴∠BAF＝∠E

在△ABF和△ECG中，

,

∴△ABF≌△ECG（AAS）

∴AB＝CE；

（3）如图3，过点C作CG⊥EF于G，连接AC，OC，OF，BF，

由（2）知：AB＝CE，∠BAF＝∠E

∵OA＝OC

∴∠OCA＝∠OAC

∵AB是⊙O的直径，CE是⊙O切线，

∴∠ACB＝∠ECO＝90°，即∠ECA+∠OCA＝∠ABC+∠OAC

∴∠ECA＝∠ABC

∴△ABD≌△ECA（ASA）

∴BD＝AC

∵BD＝CD

∴AC＝CD

∴△ACD为等腰直角三角形

∴∠ADC＝45°

∴∠EDF＝45°

∴△DEF是等腰直角三角形

设FK＝a，BF＝b，则DF＝b，BD＝CD＝AC＝b，AD＝AC＝2b，BC＝2b，

∵BD＝CD，OA＝OB

∴OD＝AC＝b，

∵∠BDO＝90°

∴OB＝＝＝b

∴AB＝CE＝

∵S△ADO＝，

∴S△BOD＝S△COD＝，S△BOC＝1

∴BCOD＝1，即×2b×b＝1

∴b＝1

∴AB＝CE＝，BF＝1，AC＝，BC＝2

∴AF＝＝＝3

过点C作CT⊥AB于T，则CT＝==,

∴OT＝＝＝,

∵tan∠COH＝，

∴CHOT＝CTOC，即： CH＝×

∴CH＝，

∵EH＝FK＝a，

∴CH＝CE﹣EH＝﹣a，

∴﹣a＝，解得：a＝，

∴FK＝，EH＝，

∵△AEH∽△AFO

∴=，即AEOA＝AFEH，AE×＝3×，

∴AE＝2，EK＝AE+AF﹣FK＝2+3﹣＝

过W作WR⊥EF于R，易证：△BFK∽△WRK

∴=＝＝，设KR＝m，WR＝2m

∵＝tan∠WER＝tan∠BAF＝＝

∴＝，即ER＝6m，

∴EK＝7m＝，解得：m＝

∴ER＝6×＝，WR＝2×＝

∴WE＝＝=