Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，菱形PQRS的四个顶点P、Q、R、S分别在矩形的边AB、BC、CD、DA上．
（1）求证：△ASP≌CQR；
（2）设AS=x，AP=y，求y与x之间的函数解析式，并求出这个函数的定义域；
（3）当x取定义域中的最小值时，菱形PQRS的面积是多少？

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质

专题：

分析：（1）连接SQ，PR，相交于点O，连接BD，利用菱形的性质、矩形的性质即可证明：△ASP≌CQR；
（2）因为AS=x，所以可得SD=BQ=8-x，由勾股定理可得x²+y²=（8-x）²+（4-y）²，进而得到y和x的关系式；
（3）当x取定义域中的最小值时即x=2时，可求出PA，SO的长，进而可求出菱形的面积．

解答：（1）证明：连接SQ，PR，相交于点O，连接BD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC=5，AD=BC=10．
∵四边形PQRS是菱形，
∴SO=QO，PO=RO
∴点O是菱形的中心，也是矩形的中心．
∴BD过点O，
∴△SOD≌△QOB，△POB≌△ROD，
∴SD=BQ，PB=DR，AS=QC，AP=RC，
∴△ASP≌CQR；
（2）∵AS=x，SD=BQ=8-x，
∵AP=y，BP=4-y，
∴DR=x，AP=RC=5-x，
∴x²+y²=（8-x）²+（4-y）²，
∴y=10-2x，（3≤x≤5）；
（3）∵x=2时，PR=4

5

，SO=

5

SQ=2

5

，
∴菱形PQRS的面积是20．

点评：本题考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判断和性质以及勾股定理的运用及二次函数的运用，题目的综合性较强，难度较大．