Question

（1）图（1）中，正三角形边长为1时，它的高为

 

，面积为

 

；
图（2）中，两个边长为1的正三角形拼成一个菱形，那么菱形的较长对角线长为

 

，该菱形的面积为

 

；
图（3）是由9个边长为1的正三角形组成一个大等边三角形，则这个大等边三角形的高为

 

，面积为

 

；
（2）图（4）是由许多边长为1的正三角形（每个正三角形称为单位正三角形）组成的一个正三角形网络，在这个网络中画一个格点?ABCD，这个平行四边形是由多少个单位正三角形组成的？试求该平行四边形边BC上的高和面积．
（3）图（5）是在正三角形网络中的一个四边形EFGH，试求该四边形的面积．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）由正三角形的边长为1，做底边上的高h，利用勾股定理可求h=

3

2

，S_△=

3

4

；
（2）菱形有两个正三角形组成，较长的对角线的长为正三角形的高的2倍，面积为正三角形的面积的二倍；
（3）根据地三个图形有九个正三角形组成求得其高和面积即可；
（4）把平行四边形所占的网格中的正三角形数一下即可，有30个，从而求得其面积；
（5）如图，可构造平行四边形，将不规则四边形的面积转化为规则四边形的面积减去三个三角形的面积即可．

解答：解：（1）正三角形边长为1时，它的高为

3

2

，面积为

3

4

；

（2）菱形中有两个边长为1的等边三角形，较长的对角线为：2×

3

2

=

3

，面积为2×

3

4

=

3

2

；

（3）9个边长为1的正三角形组成一个大等边三角形，则这个大等边三角形的高为3×

3

2

=

3 3

2

，面积为9×

3

4

=

9 3

4

；

（4）∵平行四边形ABCD含有30个单位正三角形，
∴其面积为：30×

3

4

=

15 3

2

；

（4）如图所示，构造平行四边形EQSR．
过点F作FT⊥QG于T，则
S_△FQG=

1

2

FT•QG=

1

2

×

3 3

2

×4=3

3

，同理可求S_△GSH=

3

，
S_△EHR=

3

，S_{平行四边形EQSR}=18

3

，
∴S_{四边形EFGH}=S_{平行四边形EQSR}-S_△FQG-S_△GSH-S_△EHR
=18

3

-3

3

-

3

-6

3

=8

3

．

点评：本题考查了正三角形的性质，勾股定理，有一个锐角是30°的直角三角形的性质，及构造平行四边求图形面积等知识．