Question

直线CP是经过等腰直角三角形ABC的直角顶点C，并且在三角形的外侧所作的直线，点A关于直线CP的对称点为E，连接BE，CE，其中BE交直线CP于点F．
（1）若∠PCA=25°，求∠CBF的度数．
（2）连接AF，设AC与BE的交点为点M，请判断△AFM的形状．
（3）求证：EF²+BF²=2BC²．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：综合题

分析：（1）由点A关于直线CP的对称点为E，可得△ACE是等腰三角形，结合等腰三角形和直角三角形的性质即可求得∠CBF的度数；
（2）先判定△EFC和△AFC全等，可得∠CEB=∠CAF，由等量代换可得∠FAM+∠FMA=90°，进而得出∠AFB=90°，所以△AFM是直角三角形．
（3）在直角三角形ABC和直角三角形AFB中，分别运用勾股定理，结合线段的等量代换即可得出结论．

解答：解：（1）∵点A关于直线CP的对称点为E，∠PCA=25°，
∴CP是AE垂直平分线，∴FA=FE，CA=CE，∴∠ECP=∠PCA=25°，
∵△ABC为等腰直角三角形，∴CA=CB，∴CE=CB，∠CEB=∠CBE
∴∠ECB=∠ECP+∠PCA+∠ACB=25°+25°+90°=140°，
∴∠CBF=

1

2

∠ECB=

1

2

×140°=70°．

（2）在△EFC和△AFC中

EC=AC EF=AF FC=FC

，所以在△EFC和△AFC（SSS），
∴∠CEB=∠CAF，又∵∠CEB=∠CBE．
∴∠CAF=∠CBE，又∵∠CBE+∠CMB=90°，
∴∠FAM+∠CMB=90°，
∵∠CMB=∠FMA，
∴∠FAM+∠FMA=90°，
∴∠AFB=90°，
∴△AFM是直角三角形．
（3）在Rt△ABC中：AC²+BC²=AB²．
∵AC=BC．
∴AB²=2BC²．
在Rt△AFB中：AF²+BF²=AB²．
∵AF=EF，
∴EF²+BF²=AB²，
∴EF²+BF²=2BC²．
∵AF=EF，
∴EF²+BF²=AB²，
∴EF²+BF²=2BC²．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质以及勾股定理，解决问题的关键是结合图形，熟练运用角和线段的等量代换证得结论．