Question

16．如图，四边形ABCD，和四边形CFEG都是正方形，连接AC、AE、BF、CE．
（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）若点A、E、F在一条直线上，BC与EF相交于点P，求证：PB•PE=PC•PF；
（3）当∠CAE+∠CBE=90°，BE=1，AE=2时，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD、四边形EFCG都是正方形，推出AC=$\sqrt{2}$BC，EC=$\sqrt{2}$CF，∠ACB=∠ECF，可得$\frac{AC}{EC}$=$\frac{EC}{CF}$=$\sqrt{2}$，∠ACE=∠BCF，由此即可证明；
（2）由△APC∽△BPF，推出$\frac{PA}{PB}$=$\frac{PC}{PF}$，即$\frac{PB}{PF}$=$\frac{PA}{PC}$，由△PCE∽△PAC，推出$\frac{PC}{PA}$=$\frac{PE}{PC}$，即$\frac{PA}{PC}$=$\frac{PC}{PE}$，可得$\frac{PB}{PF}$=$\frac{PC}{PE}$，由此即可解决问题；
（3）由△ACE∽△BCF，推出∠CAE=∠CBF，AE：BF=AC：BC=$\sqrt{2}$，由∠CBE+∠CAE=90°，AE=2，BE=1，推出∠CBE+∠CBF=90°，BF=$\sqrt{2}$，推出∠EBF=90°，可得EF=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，根据EC=$\sqrt{2}$EF计算即可；

解答 （1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD、四边形EFCG都是正方形，
∴AC=$\sqrt{2}$BC，EC=$\sqrt{2}$CF，∠ACB=∠ECF，
∴$\frac{AC}{EC}$=$\frac{EC}{CF}$=$\sqrt{2}$，∠ACE=∠BCF，
∴△ACE∽△BCF，

（2）如图2中，

∵△ACE∽△BCF，
∴∠CAP=∠FBP，∵∠APC=∠BPF，
∴△APC∽△BPF，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{PC}{PF}$，
∴$\frac{PB}{PF}$=$\frac{PA}{PC}$，
∵∠APC=∠CPE，∠PEC=∠ACP=45°，
∴△PCE∽△PAC，
∴$\frac{PC}{PA}$=$\frac{PE}{PC}$，即$\frac{PA}{PC}$=$\frac{PC}{PE}$，
∴$\frac{PB}{PF}$=$\frac{PC}{PE}$，
∴PB•PE=PF•PC．

（3）如图3中，

∵△ACE∽△BCF，
∴∠CAE=∠CBF，AE：BF=AC：BC=$\sqrt{2}$，
∵∠CBE+∠CAE=90°，AE=2，BE=1，
∴∠CBE+∠CBF=90°，BF=$\sqrt{2}$，
∴∠EBF=90°，
∴EF=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴EC=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查相似三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形的相似条件，灵活运用所学知识看解决问题，属于中考压轴题．