Question

8．【问题提出】已知：等边△ABC的边长为4，点P在线段AB上，点D在线段AC上，且△PDE为等边三角形．当点P与点B重合时（如图1），AD+AE的值为          
[类比探究]在上面的问题中，如果把点P沿BA方向移动．使PB=1．其余条件不变（如图2），AD+AE的值是多少？请写出你的计算过程：
【拓展迁移】如图3，△ABC中，AB=BC，△ABC=α，点P在线段BA延长线上，点D在线段CA延长线上，在△PDE中．PD=PE，△DPE=α，设AP=m，则线段AD、AE有怎样的等量关系？请用含m，α的式子直接写出你的结论．

Answer 1

分析 （1）[问题提出]只要证明△EPA≌△DPC，即可推出AE=CD，可得AD+AE=AD+DC=AC=4；
（2）[类比探究]：如图2中，作PK∥BC交AC于K．连接AE．利用（1）中的结论即可解决问题；
（3）[拓展迁移]：如图3中，作PJ⊥AD于J，在AD上取一点K，使得PK=PA．由△PDK≌△PEA，推出DK=AE，推出AD-AE=AK=2AJ=2•m•sin$\frac{α}{2}$即可解决问题．

解答 解：
（1）[问题提出]如图1中，

∵△PDE．△PAC都是等边三角形，
∴PE=PD，PA=PC，∠EPD=∠APC=60°，
∴∠EPA=∠DPC，
∴△EPA≌△DPC，
∴AE=CD，
∴AD+AE=AD+DC=AC=4；
（2）[类比探究]：AD+AE=3．
理由如下：如图2中，作PK∥BC交AC于K．连接AE．

易证△PAK是等边三角形，
由上面题目可知AE+AD=AK=3；
（3）[拓展迁移]如图3中，作PJ⊥AD于J，在AD上取一点K，使得PK=PA．

易证∠APK=∠DPE=α，
∵PD=PE，PK=PA，
∴∠DPK=∠EPA，
∴△PDK≌△PEA，
∴DK=AE，
∴AD-AE=AK=2AJ=2•m•sin$\frac{α}{2}$．
∴AD-AE=2m•sin$\frac{α}{2}$．

点评 本题为三角形的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．