Question

7．已知一次函数y=mx+b（m＜0）与反比例函数y=$\frac{k}{x}$相交于点A（1，3）及点B，当△AOB的面积为4时，求m的值．

Answer 1

分析 先由反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象过点A（1，3），得出k=1×3=3，于是可设点B的坐标为（a，$\frac{3}{a}$）．再作AE⊥x轴，BF⊥x轴，垂足分别为E、F，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出S_△AOB=S_{四边形AEFB}=4，依此列出方程$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{a}$+3）×（a-1）=4，求出a的值，然后把A（1，3），B（3，1）代入y=mx+b，即可求出m的值．

解答 解：∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象过点A（1，3），
∴k=1×3=3，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{3}{x}$，
∴可设点B的坐标为（a，$\frac{3}{a}$）．
作AE⊥x轴，BF⊥x轴，垂足分别为E、F，则S_△AOE=S_△BOF=1.5，
∵S_△AOB=S_{四边形AEFB}+S_△AOE-S_△BOF=S_{四边形AEFB}=4，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{a}$+3）×（a-1）=4，
整理得，3a²-8a-3=0，
解得a₁=3，a₂=-$\frac{1}{3}$（不合题意舍去），
∴点B的坐标为（3，1）．
把A（1，3），B（3，1）代入y=mx+b，
得$\left\{\begin{array}{l}{m+b=3}\\{3m+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
故所求m的值为-1．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，反比例函数$y=\frac{k}{x}$中k的几何意义，三角形的面积，体现了数形结合的思想．