Question

2．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，AC=6，AB=10，求AD的长．

Answer 1

分析 首先连接BC、OD、BD，如图，根据圆周角定理得∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB中利用勾股定理计算出BC=8，由于∠CAD=∠BAD，根据圆周角定理得到弧CD=弧BD，再根据垂径定理的推理得OD垂直平分BC，则可求得OE，DE的长，在Rt△BDE中利用勾股定理计算出BD=2，然后在Rt△ADB中利用勾股定理可计算出AD．

解答 解：连接BC、OD、BD，如图，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，
∵AB=10，AC=6，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴OD垂直平分BC，
∴OE=$\frac{1}{2}$AC=3，BE=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴DE=OD-OE=2，
在Rt△BDE中，BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$cm，
在Rt△ADB中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4$\sqrt{5}$cm．

点评 此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．