Question

18．设a_n=1+2+3+…+n，b_n=1²+2²+3²+…+n²，观察下表：

n	1	2	3	4	5	…
an	1	3	6	10	15	…
bn	1	5	14	30	55	…

写出$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$与n的关系的等式：$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{3}{2n+1}$．

Answer 1

分析 根据图示，可得$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}=\frac{1}{1}=\frac{3}{2×1+1}$，$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}=\frac{3}{5}=\frac{3}{2×2+1}$，$\frac{{a}_{3}}{{b}_{3}}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}=\frac{3}{2×3+1}$，$\frac{{a}_{4}}{{b}_{4}}=\frac{10}{30}=\frac{3}{9}=\frac{3}{2×4+1}$，…，所以$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$与n的关系的等式为：$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{3}{2n+1}$，据此解答即可．

解答 解：∵$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}=\frac{1}{1}=\frac{3}{2×1+1}$，
$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}=\frac{3}{5}=\frac{3}{2×2+1}$，
$\frac{{a}_{3}}{{b}_{3}}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}=\frac{3}{2×3+1}$，
$\frac{{a}_{4}}{{b}_{4}}=\frac{10}{30}=\frac{3}{9}=\frac{3}{2×4+1}$，
…，
∴$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{3}{2n+1}$，
即$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$与n的关系的等式：$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{3}{2n+1}$．
故答案为：$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{3}{2n+1}$．

点评 此题主要考查了探寻数列规律问题，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，注意观察总结规律，并能正确的应用规律．