Question

5．如图，在平面直角坐标系中，点B是反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上任意一点，将点B绕原点O顺时针方向旋转90°到点A．
（1）若点A的坐标为（4，2）．
①求k的值；
②在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上是否存在一点P，使得△AOP是等腰三角形且∠AOP是顶角，若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）当k=-1，点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上运动时，判断点A在怎样的图象上运动？并写出表达式．

Answer 1

分析 （1）①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，通过同角的余角相等结合旋转的性质即可证出△BOF≌△OAE，根据全等三角形的性质找出相等边，再结合点A的坐标以及点B所在的位置即可得出点B的坐标，由点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；
②假设存在，设点P的坐标为（m，n），根据等腰三角形的性质结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于m、n的二元二次方程组，解方程组即可得出点P的坐标；
（2）设点B的坐标为（a，b），由（1）①可知点A的坐标为（b，-a），根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论．

解答 解：（1）①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，如图1所示．
∵BF⊥x轴，AE⊥x轴，
∴∠BFO=OEA=90°，
∴∠OBF+∠BOF=90°，∠BOF+∠AOE=90°，
∴∠OBF=∠AOE．
在△BOF和△OAE中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠BFO=∠OEA}\\{∠OBF=∠AOE}\\{OB=AO}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△OAE（AAS），
∴OF=AE，BF=OE．
∵点A（4，2），
∴点B（-2，4）．
∵点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=-2×4=-8．
②假设存在，设点P的坐标为（m，n），
∵△AOP是等腰三角形且∠AOP是顶角，
∴OA=OP．
又∵点P在反比例函数y=-$\frac{8}{x}$的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{mn=-8}\\{{m}^{2}+{n}^{2}={4}^{2}+{2}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{m}_{1}=-4}\\{{n}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{m}_{2}=4}\\{{n}_{2}=-2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{m}_{3}=2}\\{{n}_{3}=-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{m}_{4}=-2}\\{{n}_{4}=4}\end{array}\right.$．
故在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形且∠AOP是顶角，点P的坐标为（-4，2），（-2，4），（2，-4）或（4，-2）．
（2）设点B的坐标为（a，b），由（1）①可知点A的坐标为（b，-a），
∵k=-1，且点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上运动，
∴ab=-1，
∴b•（-a）=-ab=1，
∴点A在y=$\frac{1}{x}$上运动．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质以及解二元二次方程组，解题的关键是：（1）①找出点B的坐标；②找出关于m、n的二元二次方程组；（2）根据点B的坐标表示出点A的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的特性，由点B的坐标找出点A的坐标是关键．