Question

16．如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，点P在BC边上以每秒1个单位长度的速度由点C向点B运动．
（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（不必写过程）．

Answer 1

分析 （1）由于PB∥OD，根据平行四边形的判定可知当PB=OD=10时，四边形PODB是平行四边形，再求出PC=10，从而求出t的值；
（2）根据菱形的判定，当OD=OP=PQ=10时，ODQP为菱形，在Rt△OPC中，利用勾股定理求出CP的值，进而求出t的值及Q点的坐标；
（3）当△OPD为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①如果O为顶点，那么OP=OD=10；②如果P为顶点，那么PO=PD；③如果D为顶点，那么DP=DO=10．

解答 解：（1）∵A（20，0），C（0，8），
∴OA=20，OC=8，
∵点D是OA的中点，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=10，
∵四边形OABC为矩形，
∴BC=OA=20，
∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB=OD=10，
∴PC=BC-PB=10，
∴t=10；

（2）如图1，∵四边形ODQP为菱形，
∴OD=OP=PQ=10，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC=$\sqrt{O{P}^{2}-O{C}^{2}}$=6，
∴t=6，
∴CQ=CP+PQ=6+10=16，
∴Q点的坐标为（16，8）；

（3）如图2，△OPD为等腰三角形时，分三种情况：
①如果O为顶点，那么OP=OD=10，
由勾股定理可以求得PC=6，此时P₁（6，8）；
②如果P为顶点，那么PO=PD，
作PE⊥OA于E，则OE=ED=5，此时P₂（5，8）；
③如果D为顶点，那么DP=DO=10，
作DF⊥BC于F，由勾股定理，得PF=6，
∴P₃C=10-6=4或P₄C=10+6=16，此时P₃（4，8），P₄（16，8）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为P₁（6，8），P₂（5，8），P₃（4，8），P₄（16，8）．

点评 此题属于四边形综合题．考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质以及勾股定理的运用．注意利用数形结合、分类讨论思想求解是解题的关键．