Question

某公司生产的某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）满足一次函数且关系如下表：

时间t（天）	1	3	6	10	36	…
日销售量m（件）	94	90	84	76	24	…

未来40天内，每天的销售价格y（元）与时间t（天）的函数关系式如下：

每天的销售价格y（元）	当1≤t≤20时，y1= 1 4 t+25
	当20＜t≤40时，y2= 1 2 t+40

（1）求日销售量m（件）与时间t（天）的函数关系；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少；
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元（a＜4）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；
（2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围．

解答：解：（1）经分析知：m与t成一次函数关系．设m=kt+b（k≠0），
将t=1，m=94，t=3，m=90
代入

94=k+b 90=3k+b

，
解得

k=-2 b=96

，
∴m=-2t+96；

（2）前20天日销售利润为P₁元，后20天日销售利润为P₂元，
则P₁=（-2t+96）（

1

4

t+25-20）=-

1

2

（t-14）²+578，
∴当t=14时，P₁有最大值，为578元．
P₂=（-2t+96）•（

1

2

t+40-20）=-t²+8t+1920
∵当21≤t≤40时，P₂随t的增大而减小，
∴t=21时，P₂有最大值，为1647元．
∵1647＞578，
∴第21天日销售利润最大．

（3）P₁=（-2t+96）（

1

4

t+25-20-a）=-

1

2

t²+（14+2a）t+480-96a，
对称轴t=14+2a，
∵a=-

1

2

，只有当t≤2a+14时，P随t的增大而增大
又∵每天扣除捐赠后的日利润随时间t的增大而增大，
故：20≤2a+14
∴a≥3，
即a≥3时，P₁随t的增大而增大，
又∵a＜4，
∴4＞a≥3．

点评：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性；（2）最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．同时注意自变量的取值范围．