Question

如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点M在AB上，点N在BC上，AM=BN，CM交AN于点P，DP交AC于点Q．求证：
（1）△ABN≌△CAM；
（2）PD平分∠APC．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）利用等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，进而得出AB=AC，即可得出△ABN≌△CAM；
（2）根据题意得出，∠FCD=∠EAD，进而求出△ADE≌△CDF（AAS），则DE=DF，故PD平分∠APC．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
在△ABN和△CAM中

AB=AC ∠B=∠MAC=60° AM=BN

，
∴△ABN≌△CAM（SAS）；

（2）过点D分别作DE⊥NA于点E，DF⊥PC于F，
∴∠EAD=∠ANC=60°+∠BAN，∠FCD=60°+∠ACM，
∴∠BAN=∠ACM，∠FCD=∠EAD，
又∵AD=CD，∠AED=∠CFD=90°，
在△ADE和△CDF中

∠DEA=∠CFD ∠EAD=∠DCF AD=CD

∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF，
∴PD平分∠APC．

点评：此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出对应角关系是解题关键．