Question

4．如图，已知正方形ABCD，点E在CB的延长线上，联结AE、DE，DE与边AB交于点F，FG∥BE且与AE交于点G．
（1）求证：GF=BF．
（2）在BC边上取点M，使得BM=BE，联结AM交DE于点O．求证：FO•ED=OD•EF．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件可得到GF∥AD，则有$\frac{GF}{AD}$=$\frac{EF}{ED}$，由BF∥CD可得到$\frac{BF}{CD}$=$\frac{EF}{ED}$，又因为AD=CD，可得到GF=FB；
（2）延长GF交AM于H，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{GF}{BE}=\frac{FH}{BM}$，由于BM=BE，得到GF=FH，由GF∥AD，得到$\frac{EF}{ED}=\frac{GF}{AD}，\frac{FH}{AD}=\frac{FO}{OD}$，等量代换得到$\frac{EF}{ED}=\frac{FH}{AD}$，即$\frac{EF}{ED}=\frac{FO}{OD}$，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=CD，
∵GF∥BE，
∴GF∥BC，
∴GF∥AD，
∴$\frac{GF}{AD}=\frac{EF}{ED}$，
∵AB∥CD，
∴$\frac{BF}{CD}=\frac{EF}{ED}$，
∵AD=CD，
∴GF=BF；

（2）延长GF交AM于H，
∵GF∥BC，
∴FH∥BC，
∴$\frac{GF}{BE}=\frac{AF}{AB}，\frac{FH}{BM}=\frac{AF}{AB}$，
∴$\frac{GF}{BE}=\frac{FH}{BM}$，
∵BM=BE，
∴GF=FH，
∵GF∥AD，
∴$\frac{EF}{ED}=\frac{GF}{AD}，\frac{FH}{AD}=\frac{FO}{OD}$，
∴$\frac{EF}{ED}=\frac{FH}{AD}$，
∴$\frac{EF}{ED}=\frac{FO}{OD}$，
∴FO•ED=OD•EF．

点评 本题主要考查平行线分线段成比例及正方形的性质，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键，注意利用比例相等也可以证明线段相等．