Question

2．如图，已知以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作等边三角形ABD、BCE和ACF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？是矩形？并说明理由；
（3）这样的平行四边形ADEF是否总是存在？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得出AC=AF，AB=BD，BC=BE，∠EBC=∠ABD=60°，求出∠DBE=∠ABC，根据SAS推出△DBE≌△ABC，根据全等得出DE=AC，求出DE=AF，同理AD=EF，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）当AB=AC时，四边形ADEF是菱形，根据菱形的判定推出即可；当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形，求出∠DAF=90°，根据矩形的判定推出即可；
（3）这样的平行四边形ADEF不总是存在，当∠BAC=60°时，此时四边形ADEF就不存在．

解答 （1）证明：∵△ABD、△BCE和△ACF是等边三角形，
∴AC=AF，AB=BD，BC=BE，∠EBC=∠ABD=60°，
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠EBA，
在△DBE和△ABC中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{∠DBE=∠ABC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$
∴△DBE≌△ABC，
∴DE=AC，
∵AC=AF，
∴DE=AF，
同理AD=EF，
∴四边形ADEF是平行四边形；

（2）解：当AB=AC时，四边形ADEF是菱形，
理由是：∵△ABD和△AFC是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AF，
∵AB=AC，
∴AD=AF，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形；
当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形，
理由是：∵△ABD和△ACF是等边三角形，
∴∠DAB=∠FAC=60°，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAF=90°，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是矩形；

（3）解：这样的平行四边形ADEF不总是存在，
理由是：当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，
此时点D、A、F在同一条直线上，此时四边形ADEF就不存在．

点评 本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．