Question

13．如图，抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x²+3x-4）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）求点O到AC的距离；
（2）点P为抛物线上一点，以2为半径作⊙P，当⊙P与直线AC相切时，求点P的横坐标；
（3）若点M在线段AC上，点N在x轴负半轴上（点N不与点A重合），当满足条件∠OMN=90°的点M有且只有2个时，直接写出线段ON的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令y=0，解关于x的一元二次方程，即可得到点A的坐标，令x=0，求出y的值，即可得到点C的坐标，利用勾股定理列式求出AC的长度，再根据△AOC的面积，列式求解即可得到点O到AC的距离；
（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据点O到AC的距离为2可知点P在过点O与AC平行的直线上，求出直线PO的解析式，再与抛物线解析式联立消掉y，解关于x的一元二次方程即可得到点P的横坐标．
（3）如图2中，当与ON为直径的圆与AC相切于M时，∠NMO=90°，设⊙k的半径为r，由△AMK∽△AOC，得$\frac{AK}{AC}$=$\frac{KM}{OC}$，求出r，根据图象即可判断．

解答 解：（1）如图1中，作OM⊥AC于M．
令y=0，则$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x²+3x-4）=0，
整理得，x²+3x-4=0
解得x₁=1，x₂=-4，
所以，点A的坐标为（-4，0），
令x=0，则y=-4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
所以，点C的坐标为（0，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）；
∴OA=4，OC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
根据勾股定理得，AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$OA•OC=$\frac{1}{2}$AC•OM，
∴$\frac{1}{2}$×4×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{8\sqrt{3}}{3}$×OM，
∴OM=2，
所以，点O到AC的距离为2；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵直线经过点A（-4，0），C（0，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵点O到AC的距离为2，
∴点P在过点O与AC平行的直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（{x}^{2}+3x-4）}\end{array}\right.$，
消掉未知数y整理得，x²+4x-4=0，
解得x₁=-2-2$\sqrt{2}$，x₂=-2+2$\sqrt{2}$，
所以，点P的横坐标为：-2-2$\sqrt{2}$或-2+2$\sqrt{2}$，
将y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x向下平移-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$个单位得到直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，则直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$与直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$之间的距离也是2，点P在直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$上，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{8\sqrt{3}}{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（{x}^{2}+3x-4）}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴点P坐标（-2，-2$\sqrt{3}$），
综上所述，满足条件的点P横坐标为-2-2$\sqrt{2}$或-2+2$\sqrt{2}$或-2．

（3）如图2中，当与ON为直径的圆与AC相切于M时，∠NMO=90°，设⊙k的半径为r，
∵△AMK∽△AOC，
∴$\frac{AK}{AC}$=$\frac{KM}{OC}$，
∴$\frac{4-r}{\frac{8\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{r}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}$，
∴r=$\frac{4}{3}$，
∴ON=2r=$\frac{8}{3}$，
由图象可知，当$\frac{8}{3}$＜ON＜4时，满足条件∠OMN=90°的点M有且只有2个．

点评 本题考查了二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理的应用，三角形的面积，圆的有关知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．