Question

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B（2，0）．点P是x轴上方抛物线上一动点（不落在y轴上），过点P作PD∥x轴交y轴于点D．PC∥y轴交x轴于点C，设点P的横坐标为m，矩形PDOC的周长为L．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（2）当矩形PDOC的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．
（3）求L与m之间的函数关系式．
（4）设直线y=x与矩形PDOC的边交于点Q，当△OCQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将A（-1，0）和B（2，0）代入y=-x²+bx+c建立方程组求出b和c的值即可；
（2）当矩形PDOC的面积被抛物线的对称轴平分时，点P、D关于抛物线的对称轴对称，由抛物线的顶点坐标即可得出抛物线的对称轴为x=1，结合点D的横坐标为0，即可得出m的值；
（3）因为点P的横坐标为m，且点P在y=-x²+x+2图象上，所以可以求出点P的纵坐标，由矩形的性质进而求出点D和点C的坐标，又因为点P的位置不确定，所以要分两种情况分别讨论L和m的函数关系①当点P在第一象限时②当点P在第二象限时；
（4）画出函数图象，分两种情形考虑即可①Q在PC边上，②Q在PD边上．分别求解即可．

解答 解：（1）将A（-1，0）和B（2，0）代入y=-x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-4+2b+c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+x+2．
         
（2）∵点P的横坐标为m，且点P在y=-x²+x+2图象上，
∴P（m，-m²+m+2）．D（0，m），
∵P、D关于对称轴x=1对称，
∴$\frac{m}{2}$=1，
∴m=1时，矩形PDOC的面积被抛物线的对称轴平分．
                  
（3）∵点P的横坐标为m，且点P在y=-x²+x+2图象上，
∴P（m，-m²+m+2）．
∵PD∥x轴，PC∥y轴，
∴四边形PDOC为矩形，
∴D（0，-m²+m+2），C（m，0），
①当点P在第一象限时，
∴PD=OC=m，PC=DO=-m²+m+2，
∴L=2m+2（-m²+m+2）=-2m²+4m+4，
∴L=-2m²+4m+4．
②当点P在第二象限时，
∴PD=OC=-m，PC=DO=-m²+m+2，
∴L=-2m+2（-m²+m+2）=-2m²+4．
∴L=-2m²+4，
综上所述，L=-2m²+4m+4或L=-2m²+4

（4）如图，

由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-{x}^{2}+x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}}\\{y=\sqrt{2}}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}}\\{y=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴M（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），N（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
由图象可知，0＜m＜$\sqrt{2}$或m＜-$\sqrt{2}$时，△OCQ是等腰直角三角形．
当Q₁（$\frac{m}{2}$，$\frac{m}{2}$）时，即$\frac{m}{2}$=-m²+m+2时，△CQ₁O是等腰直角三角形，
此时m=$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$或$\frac{1-\sqrt{33}}{4}$，
综上所述，当，0＜m＜$\sqrt{2}$或m＜-$\sqrt{2}$或m=$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$或$\frac{1-\sqrt{33}}{4}$时，△OCQ是等腰直角三角形．

点评 本题考查了二次函数的确定方法、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、一元二次方程的运用，题目的难点体现在（3）和（4）两问中需要分类讨论的数学思想，防止遗漏问题的解，属于中考压轴题．