Question

2．如图，在△ABC中，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．
（1）若点B、C在DE的同侧（如图（1）），且AD=CE，AE=BD，求证：△ABC为等腰直角三角形．
（2）若点B、C在DE的两侧（如图（2）），其他条件不变，问△ABC为等腰直角三角形吗？若是，请加以证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知条件，证明△ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC；
（2）同（1），先证△ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC．

解答 证明：（1）∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE．
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．
∴△ABC为等腰直角三角形；
（2）△ABC为等腰直角三角形．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC，
∴△ABC为等腰直角三角形．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，借助全等三角形的性质得到相等的角，然后证明垂直是经常使用的方法，注意掌握、应用．