Question

18．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O和顶点A均在x轴上，且点B（8，4）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上．
（1）求反比例函数的解析式及菱形OABC的长；
（2）若将菱形OABC向上平移m个单位长度，则菱形的顶点C恰好落在反比例函数图象上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）把点B的坐标代入反比例函数求出k的值，即可得出反比例函数的解析式；作BD⊥x轴于D，则∠ADB=90°，BD=4，OD=8，由勾股定理得出AD²+BD²=AB²，设AB=OA=BC=x，则AD=8-x，由勾股定理得出方程，解方程求出AB即可；
（2）先由题意得出点C的坐标，将菱形OABC向上平移m个单位长度后点C的坐标为（3，m+4），代入反比例函数解析式，求出m的值即可．

解答 解：（1）把点B（8，4）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）得：
k=8×4=32，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{32}{x}$；
作BD⊥x轴于D，如图所示：
则∠ADB=90°，BD=4，OD=8，
∴AD²+BD²=AB²，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC，
设AB=OA=BC=x，
则AD=8-x，
∴（8-x）²+4²=x²，
解得：x=5，
∴菱形OABC的边长为5；
（2）∵BC=5，8-5=3，
∴点C的坐标为（3，4），
若将菱形OABC向上平移m个单位长度，
则点C的坐标为（3，m+4），
∵点C恰好落在反比例函数图象上，
∴3（m+4）=32，
解得：m=$\frac{20}{3}$．
即若将菱形OABC向上平移m个单位长度，则菱形的顶点C恰好落在反比例函数图象上，m的值为$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查是反比例函数综合题目，考查了反比例函数解析式的求法、勾股定理、坐标与图形性质、菱形的性质、平移的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．