Question

如图，已知点B的坐标为（6，0），点P的坐标为（4，-4），在直线y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：作AB⊥直线y=2x于点A，PE⊥直线y=2x于点E，作DF⊥OB于F，设AB的解析式为y=kx+b，由待定系数法就可以AB的解析式，进而可以求出PE的解析式，就可以求出A、P的坐标，由等腰梯形的性质就可以得出PO=BD，PB∥AE，就可以得出AB=PE，由三角形全等就可以得出OE=AD，由两点间的距离公式就可以求出OE，BP的值，就可以求出OD的值，作DF⊥OB于点F，设D（m，2m），由勾股定理就可以求出m的值，进而求出结论．

解答：解：AB⊥直线y=2x于点A，PE⊥直线y=2x于点E，作DF⊥OB于F，
∴∠BAE=∠AEP=90°．AB∥BP．
设直线AB的解析式为y=k₁x+b₁，由题意，得

2k1=-1 0=6k1+b1

，
解得：

k1=- 1 2 b1=3

，
∴直线AB的解析式为：y=-

1

2

x+3．
设PE的解析式为y=k₂x+b₂，由题意，得

2k2=-1 -4=4k2+b2

，
解得：

k2=- 1 2 b2=-2

，
∴直线PE的解析式为：y=-

1

2

x-2．
设PB的解析式为y=k₃x+b₃，由题意，得

0=6k3+b3 -4=4k3+b3

，
解得：

k3=2 b3=-12

，
∴直线AB的解析式为：y=2x-12．
∵直线AE的解析式为y=2x，
∴AE∥BP，
∵AB∥BP．
∴四边形AEPB是平行四边形，
∵∠AEP=90°，
∴平行四边形AEPB是矩形，
∴PE=BA．AE=BP．
∵四边形PBDO是等腰梯形，
∴PO=BD．
在Rt△PEO和Rt△BDA中，

PO=BD PE=BA

，
∴Rt△PEO≌Rt△BDA（HL），
∴OE=DA．
∵

y=- 1 2 x-2 y=2x

，
解得：

x=- 4 5 y=- 8 5

，
∴E（-

4

5

，-

8

5

），
∴OE=

4 5

5

．
∴DA=

4 5

5

．
∵BP=

(6-4)2+(0+4)2

=2

5

，
∴AE=2

5

，
∴OD=2

5

-2×

4 5

5

=

2 5

5

．
设D（m，2m），作DF⊥OB于点F．
∴OF=m，DF=2m．
在Rt△DOF中，由勾股定理，得
m²+4m²=

4

5

解得：m=±

2

5

．
∵点D在第一象限，
∴m＞0，
∴m=

2

5

．
∴DF=

4

5

，
∴D（

2

5

，

4

5

）．

点评：本题考查了垂线的性质的运用，等腰梯形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，一次函数的解析式的运用，平面上两点间的距离公式的运用，一次函数与二元一次方程组的关系的运用，解答时求出函数的解析式是关键．