Question

如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高．
（1）若已知△ABC是直角三角形，∠B=20°，∠C=70°，则∠DAE=

 

；
（2）若已知∠B=25°，∠C=85°，则∠DAE=

 

；
（3）若已知∠B=α，∠C=β，且，求∠DAE的度数（结果用含α、β的代数式表示）．

Answer 1

考点：三角形的角平分线、中线和高,三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°-∠B-∠C=90°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAD=

1

2

∠CAB=45°，∠AEC=90°，则∠CAE=90°-∠C=20°，然后利用∠DAE=∠CAD-∠CAE计算即可．
（2）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°-∠B-∠C=70°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAD=

1

2

∠CAB=35°，∠AEC=90°，则∠CAE=90°-∠C=5°，然后利用∠DAE=∠CAD-∠CAE计算即可．
（3）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°-α-β，再根据角平分线与高线的定义得到∠DAC=90°-

1

2

α-

1

2

β，∠AEC=90°，则∠CAE=90°-∠C=90°-β，然后利用∠DAE=∠CAD-∠CAE计算即可．

解答：解：（1）∵∠B=20°，∠C=70°，
∴∠BAC=90°，
∴∠DAC=45°，
∵AE是△ABC的高．
∴∠EAC=20°，
∴∠DAE=45°-20°=25°；
（2）∵∠B=25°，∠C=85°
∴∠BAC=70°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC=35°，
∵AE是△ABC的高．
∴∠EAC=5°，
∴∠DAE=35°-5°=30°；
（3）在△ABC中，∠BAC=180°-α-β，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC=90°-

1

2

α-

1

2

β，
∵AE是△ABC的高．
∴∠EAC=90°-β，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-

1

2

α-

1

2

β-90°+β=

1

2

（α-β），
故答案为25°，30°．

点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查了三角形外角性质．