Question

4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=6，OC=4．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．则
（1）点D的坐标为（t+2，$\frac{1}{2}$t）；（2）t=3时，△DPA的面积最大为$\frac{9}{4}$；
（3）△DPA不能成为直角三角形；（4）随着点P的运动，点D运动路线的长为2$\sqrt{13}$．
上述结论正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 过点D作DH⊥OA于H，易证△COP∽△PHD，从而可得PH=2，HD=$\frac{t}{2}$，由此可确定命题（1）、（2）、（3）的真假，然后设点D的坐标为（x，y），则有$\left\{\begin{array}{l}{x=t+2}\\{y=\frac{t}{2}}\end{array}\right.$，消去t，即可得到点D始终在直线y=$\frac{1}{2}$（x-2）上，然后只需找出点D的始点和终点，再运用两点间距离公式即可算出点D运动路线的长．

解答 解：过点D作DH⊥OA于H，如图，
则有∠DHP=90°．
∵∠COP=∠CPD=90°，
∴∠COP=∠DHP，∠OCP=∠DPH=90°-∠OPC，
∴△COP∽△PHD，
∴$\frac{CO}{PH}$=$\frac{OP}{HD}$=$\frac{CP}{PD}$=2．
∵OC=4，OP=t，
∴PH=2，HD=$\frac{t}{2}$，
∴OH=t+2，
∴点D的坐标为（t+2，$\frac{1}{2}$t）．
∴（1）正确．
当t=3时，PA=6-3=3，DH=$\frac{3}{2}$，
则△DPA的面积=$\frac{1}{2}$PA•DH=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$．
∴（2）正确．
当t=4时，OH=t+2=6，此时点D在线段AB上，△DPA为直角三角形．
∴（3）错误．
设点D的坐标为（x，y），
则有$\left\{\begin{array}{l}{x=t+2}\\{y=\frac{t}{2}}\end{array}\right.$，
消去t，得y=$\frac{1}{2}$（x-2），
∴点D在直线y=$\frac{1}{2}$（x-2）上运动．
当t=0时，点D的坐标为（2，0）；
当t=6时，点D的坐标为（8，3）；
根据两点间距离公式可得：
点D运动路线的长为$\sqrt{（8-2）^{2}+（3-0）^{2}}$=3$\sqrt{5}$．
∴（4）错误．
故选B．

点评 本题是一道选择题，用到了相似三角形的判定与性质、两点间距离公式，要说明一个命题是假命题只需举一个反例即可，运用消元法得到点D在直线上运动是解决第（4）小题的关键．