Question

20．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB=BF．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若CF=4，DF=$\sqrt{10}$，求⊙O的半径r及sinB．

Answer 1

分析 （1）连接OA、OD，如图，根据垂径定理得OD⊥BC，则∠D+∠OFD=90°，再由AB=BF，OA=OD得到∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，加上∠BFA=∠OFD，所以∠OAD+∠BAF=90°，则OA⊥AB，然后根据切线的判定定理即可得到AB是⊙O切线；
（2）先表示出OF=4-r，OD=r，在Rt△DOF中利用勾股定理得r²+（4-r）²=（$\sqrt{10}$）²，解方程得到r的值，那么OA=3，OF=CF-OC=4-3=1，BO=BF+FO=AB+1．
然后在Rt△AOB中利用勾股定理得AB²+OA²=OB²，即AB²+3²=（AB+1）²，解方程得到AB=4的值，再根据三角函数定义求出sinB．

解答 （1）证明：连接OA、OD，如图，
∵点D为CE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BC，
∴∠EOD=90°，
∵AB=BF，OA=OD，
∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，
而∠BFA=∠OFD，
∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°，即∠OAB=90°，
∴OA⊥AB，
∴AB是⊙O切线；

（2）解：OF=CF-OC=4-r，OD=r，DF=$\sqrt{10}$，
在Rt△DOF中，OD²+OF²=DF²，即r²+（4-r）²=（$\sqrt{10}$）²，
解得r₁=3，r₂=1（舍去）；
∴半径r=3，
∴OA=3，OF=CF-OC=4-3=1，BO=BF+FO=AB+1．
在Rt△AOB中，AB²+OA²=OB²，
∴AB²+3²=（AB+1）²，
∴AB=4，OB=5，
∴sinB=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义．