如果一条抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为A.B.顶点为P.连接PA.PB.那么称△PAB为这条抛物线的“抛物线三角形．(1)请写出“抛物线三角形是等腰直角三角形时.抛物线的表达式y=-x2+1,(2)若抛物线y=-x2+bx的“抛物线三角形是等边三角形.求b的值,(3)若△PAB是抛物线y=-x2+c的“抛物线三角形 .是否存在以点A为对称中� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．如果一条抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左侧），顶点为P，连接PA，PB，那么称△PAB为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的表达式（写出一个即可）y=-x²+1；
（2）若抛物线y=-x²+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等边三角形，求b的值；
（3）若△PAB是抛物线y=-x²+c的“抛物线三角形”，是否存在以点A为对称中心的矩形PBCD？若存在，求出过O，C，D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

分析（1）取A（-1，0），B（1，0），C（0，1）三点，求出过A、B、C三点的抛物线即可．
（2）如图1中，过点P作PH⊥AB于H，△PAB是等边三角形，根据PH=$\sqrt{3}$AH，列出方程即可解决问题．
（3）如图2中，作△ACD与△APB关于点A中心对称，则四边形PBCD为平行四边形，当PC=BD时，平行四边形PBCD为矩形，即PA=AB，推出△APB为等边三角形，由此求出D、C坐标即可解决问题．

解答解：（1）答案不唯一，当A（-1，0），B（1，0），C（0，1）时，△ABC是等腰直角三角形，此时经过A、B、C三点的抛物线为y=-x²+1，
故答案为y=-x²+1．
（2）∵抛物线y=-x²+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等边直角三角形，
又∵该抛物线的顶点（$\frac{b}{2}$，$\frac{{b}^{2}}{4}$），
如图1中，过点P作PH⊥AB于H，
∵△PAB是等边三角形，
∴PH=$\sqrt{3}$AH，
∴$\frac{{b}^{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}b}{2}$，
∴b=2$\sqrt{3}$．
（3）如图2中，作△ACD与△APB关于点A中心对称，则四边形PBCD为平行四边形，
当PC=BD时，平行四边形PBCD为矩形，
即PA=AB，
∴△APB为等边三角形，
由（2）作法可知，P（0，3），
∴A（-$\sqrt{3}$，0），B（$\sqrt{3}$，0），
由中心对称图形的性质可知，D（-3$\sqrt{3}$，0），C（-2$\sqrt{3}$，-3），
设过O、C、D三点的抛物线为y=ax²+bx，
则$\left\{\begin{array}{l}{27a-3\sqrt{3}b=0}\\{12a-2\sqrt{3}b=-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
∴O，C，D三点的抛物线的表达式为：y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x．